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65°

64°

$(4，3-\sqrt{5})$

证明：$(1)∵PA$与$⊙O$相切于点$A，$且$OA$是$⊙O$的半径，

$∴PA⊥OA，$

$∵PO$平分$∠APD，$$OB⊥PD$于点$B，$$OA⊥PA$于点$A，$

$∴OB=OA，$

∴点$B$在$⊙O$上，

$∵OB$是$⊙O$的半径，且$PB⊥OB，$

$∴PB$是$⊙O$的切线.

$(2)$解：$∵OA=OB=4，$$OC=5，$

$∴AC=OA+OC=4+5=9，$

$∵∠OBC=90°，$

$∴BC=\sqrt {OC^2-OB^2}=\sqrt {5^2-4^2}=3，$

$∵∠A=90°，$

$∴\frac {PA}{AC}=\frac {OB}{BC}=tan∠ACP=\frac {4}{3}，$

$∴PA=\frac {4}{3}AC=\frac {4}{3}×9=12，$

$∴PA$的长是$12.$

解$：(1) ∵ PC$与$⊙O$相切于点$C，$

$∴ OC⊥PC，$

$∴ ∠OCB+∠BCP=90°. $

$∵ OB=OC，$

$∴ ∠OCB=∠OBC. $

$∵ ∠ABC=2∠BCP， $

$∴ ∠OCB=2∠BCP， $

$∴ 2∠BCP+∠BCP=90°，$

解得$∠BCP=30°，$

$∴ ∠OCB=2∠BCP=60° $

$(2)$连接$DE.$

$∵ CD$是$⊙O$的直径，

$∴ ∠DEC=90°. $

$∵ E$是$\widehat{BD}$的中点，

$∴ \widehat{DE}=\widehat{BE}， $

$∴ ∠DCE=∠FDE=∠ECB= \frac {1}{2} ∠DCB=30°.$

∵ 在$Rt△DEF $中$，EF=3，∠FDE=30°，$

$∴ DF=2EF=6，$

$∴ DE= \sqrt{DF²-EF²} =3 \sqrt{3} .$

又 ∵ 在$Rt△DEC$中$，∠DCE=30°， $

$∴ CD=2DE=6 \sqrt{3} ，$

即$⊙O$的直径为$6 \sqrt{3}$

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