证明：$(1)∵E$是$△ABC$的内心，
$∴∠BAE=∠CAE，$$∠EBA=∠EBC，$
$∵∠BED=∠BAE+∠EBA，$$∠DBE=∠EBC+∠DBC，$$∠DBC=∠EAC，$
$∴∠DBE=∠DEB，$
$∴DB=DE.$
$(2)$连接$CD.$
$∵DA$平分$∠BAC，$
$∴∠DAB=∠DAC，$
$∴\widehat{BD}=\widehat{CD}，$
$∴BD=CD，$
$∵BD=DF，$
$∴CD=DB=DF，$
$∴∠BCF=90°，$
$∴BC⊥CF，$
$∴CF$是$⊙O$的切线.
