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B

①②③④

证明$：(1)$如图，连接$OC. $

$∵C$为$\widehat{EB} $的中点，

$∴\widehat{EC}=\widehat{BC}，$

$∴ ∠EAC=∠BAC. $

$∵ OA=OC， $

$∴ ∠BAC=∠OCA，$

$∴ ∠EAC=∠OCA， $

$∴ AE//OC， $

$∴ ∠ADC=∠OCF.$

$∵ CD⊥AE， $

$∴ ∠ADC=90°， $

$∴ ∠OCF=90°，$

即$OC⊥DF.$

又$∵ OC$为$⊙O$的半径，

$∴ CD$是$⊙O$的切线

$(2)$如图，过点$O$作$OH⊥AE，$垂足为$H.$

设$⊙O$的半径为$r，$则$OA=OC=r.$

$∵OH⊥AE，OH$过圆心$O，$

$∴ ∠DHO=90°，AH=EH.$

$∵ ∠ADC=90°，∠OCD=180°-∠OCF=90°，$

∴ 四边形$OCDH$为矩形，

$∴ OH=DC=2，DH=OC=r，$

$∴ EH=DH-DE=r-1，$

$∴ AH=r-1. $

∵ 在$Rt△AHO$中$，OH²+AH²=OA²， $

$∴ 2²+(r-1)²=r²，$

解得$r=2.5，$

$∴ ⊙O$的半径是$2.5$

证明：$(1)$连接$BE，$

∵四边形$ABCD$是正方形，

$∴∠BAE=90°，$

$∴BE$是圆$O$的直径，

$∵∠BAF+∠EAF=90°，$$∠EAF=∠EBF，$$∠FBG=∠FAB，$

$∴∠FBG+∠EBF=90°，$

$∴∠OBG=90°，$

故$BG$是圆$O$的切线.

$(2)$解：如图，连接$OA，$$OF，$

∵四边形$ABCD$是正方形，$BE$是圆的直径，

$∴∠EFD=90°，$$∠FDE=45°，$

$∴∠FED=45°，$

$∴∠AOF=90°，$

$∵OA=OF=1，$

$∴AF^2=AO^2+FO^2=1+1=2，$

$∴AF=\sqrt {2}，$$AF=-\sqrt {2}($舍去).

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