证明：$(1)$如图，过点$D$作$DM⊥AB$于点$M，$
$∵∠C=90 °，$$DE⊥BC$于点$E，$$DF⊥AC$于点$F，$
$∴∠C=∠DEC=∠DFC=90 °，$
∴四边形$CFDE$是矩形，
$∵∠BAC，$$∠ABC$的平分线交于点$D，$$DE⊥BC$于点$E，$$DF⊥AC$于点$F，$$DM⊥AB$于点$M，$
$∴DE=DM，$$DM=DF，$
$∴DF=DE，$
∴矩形$CFDE$是正方形.
$(2)$在$Rt△ABC$中，$AC=6，$$BC=8，$
根据勾股定理，得$AB= \sqrt{AC²+BC²} =10.$
设$△ABC$的内切圆的半径为$r. $
$∵ S_{△ABC}= \frac {1}{2}×AC×BC= \frac {1}{2}×r×(AC+BC+AB)，$
$∴ \frac {1}{2} ×6×8= \frac {1}{2}×r×(6+8+10)，$
解得$r=2.$
$∴ △AIBC$的内切圆的周长为$2π×2=4π$
