解：$(1)$连接$OF$
根据切线长定理得：
$BE=BF，$$CF=CG，$$∠OBF=∠OBE，$$∠OCF=∠OCG.$
$∵AB∥CD，$
$∴∠ABC+∠BCD=180°，$
$∴∠OBF+∠OCF=90°，$
$∴∠BOC=90°$
$∴△OBC$是直角三角形。
$(2)∵BC$与$⊙O$相切于点$F，$
$∴OF⊥BC，$
$∴S_{△OBC}=\frac {1}{2}OF×BC=\frac {1}{2}OB×OC，$
即$\frac {1}{2}OF×10=\frac {1}{2}×6×8.$
$∴OF=4.8.$
