证明：$(1)∵$正五边形$ABCDE，$
$∴AB=BC，$$∠ABM=∠C，$
∴在$△ABM$和$△BCN$中
$\begin{cases}{AB=BC}\\{∠ABM=∠C}\\{BM=CN}\end{cases}$
$∴△ABM≌△BCN(\mathrm {SAS}).$
(2)解：∵△ABM≌△BCN，
$∴∠BAM=∠CBN，$
$∵∠BAM+∠ABP=∠APN，$
$∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC=\frac {(5-2)×180°}{5}=108°.$
即$∠APN$的度数为$108°.$
