解：设圆锥底面圆的半径为$r，$母线长为$ l，$展开后圆心角的度数为$ n°，$
则底面圆的周长为$ 2 \pi r，$ 侧面展开图的 弧长为$ \frac {n \pi l}{180}$
$ ∴2 \pi r=\frac {n \pi l}{180}.$
如图①，∵轴截面$ \triangle A B C$为等边三角形
$ ∴A B=B C，$ 即$ l=2\ \mathrm {r}=6 $
$ ∴r=3$
$ ∴2 \pi ×3=\frac {n \pi ×6}{180}$
$ ∴n=180，$即其侧面展开图为如图②所示的半圆，
则$\triangle A B P$为直角三角形，$B P$为最短路线
在$ R t \triangle A B P $中，$BP=\sqrt{6^2+3^2}=3 \sqrt{5} $
∴小猫所经过的最短路程是$ 3 \sqrt{5}$
