证明$：(1)$如图，连接$AO$并延长，交$BC$于点$F，$连接$OC，$
则$OA=OB=OC，$
$∵ AB=AC，$$OB=OC， $
∴ 点$A、$$O$在$BC$的垂直平分线上，
$∴ AF⊥BC， $
$∴ ∠AFB=90°. $
$∵ AE//BC，$
$∴ ∠OAE=∠AFB=90°， $
$∴ OA⊥AE. $
$∵ OA$是$⊙O$的半径，
$∴ AE$是$⊙O$的切线
$(2)∵AB=AC，$
$∴∠ACB=∠ABC=75°，$
∴ 在$△ABC，$中，$∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°.$
$∵ \widehat{BC}=\widehat{BC}，$
$∴ ∠BOC=2∠BAC=60°，$
$∴ ∠COD=180°-∠BOC=120°.$
$∵OB=OC，∠BOC=60°，$
$∴△BOC$是等边三角形，
$∴OC=BC=2，$
$∴\widehat{CD}$的长$=\frac {120π×2}{180}=\frac {4π}{3}.$
