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A

B

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解：$∵D$是$AB$的中点，

$∴AD= \frac {AB}{2}=2，$

∵等边三角形$ABC$中$∠A=∠C=60°，$且$DF⊥AC，$

$∴∠ADF=180°-90°-60°=30°，$

在$Rt△ADF $中，$AF= \frac {AD}{2}=1；$

$FC=AC-AF=4-1=3，$

同理，在$Rt△FHC$中，$HC= \frac {FC}{2}=1.5，$

$∴BH=BC-HC=4-1.5=2.5.$

证明$：(1)∵△ABC$是等边三角形

$∴∠ACB=60°$

$∵DF⊥BE$

$∴∠DFC=90°$

$∴∠FDC=90°-∠ACB=30°$

$∴CD=2CF$

$∵CE=CD$

$∴CE=2CF$

$(2)$由$(1)，$知$CD=2CF.$

$∵ CF=2，$

$∴ CD=2CF=4.$

$∵△ABC$是等边三角形，$BD$是边$AC$上的中线，

$∴ AB=BC=AC=2CD=8. $

$∴△ABC$的周长为$AB+AC+BC=24$

C

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