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第55页

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B

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证明:连接$BH，BE. $

∵ 在$△ABC $中$，∠C=45°，∠ABC=120°， $

$∴∠A=180°-45°-120°=15°$

$∵ DE$垂直平分$BC，CE=4，$

$∴BE=CE=4. $

$∴ ∠C=∠CBE=45°. $

$∴∠BEC=90°，$

即$BE⊥AC. $

$∵ HF $垂直平分$AB，$

$∴ AH=BH. $

$∴ ∠A=∠ABH=15°$

$∴ ∠BHE=∠A+∠ABH=30°. $

又∵ 在$Rt△BEH$中$，BE=4，$

$∴BH=2BE=8.$

$∴AH=8$

证明：$(1)$连接$BE，$

$∵DE$是$AB$的垂直平分线，

$∴AE=BE，$

$∴∠ABE=∠A=30°，$

$∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，$

在$Rt△ABC$中，$BE=2CE，$

$∴AE=2CE.$

$(2)$解：$△BCD$是等边三角形，

理由如下：

$∵DE$垂直平分$AB，$

$∴D$为$AB$中点，

$∵∠ACB=90°，$

$∴CD=BD，$

$∵∠ABC=60°，$

$∴△BCD$是等边三角形.

解：$(1)$在$△ABC$中，

$∵AB=AC，$$∠BAC=120°，$

$∴∠B=∠C=30°.$

又$∵BD=BE，$

$∴∠BDE=∠BED=\frac {1}{2}×(180°-∠B)=75°.$

在$△ABC$中，$∵AB=AC，$$AD$是$BC$边上的中线，

$∴AD⊥BC，$

$∴∠ADB=90°，$

$∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=90°-75°=15°.$

$(2)△ADF$是等边三角形.理由如下：

$∵FM$垂直平分$DC，$

$∴DF=CF.$

$∵∠C=30°，$

$∴∠FDC=∠C=30°，$

$∴∠AFD=∠C+∠FDC=60°.$

$∵AD⊥BC，$

$∴∠ADC=90°，$

$∴∠DAF=90°-∠C=60°，$

$∴∠AFD=∠DAF=∠ADF=60°，$

$∴△ADF$是等边三角形.

$(3)∵FM$垂直平分$DC，$

$∴∠FMC=90°.$

$∵∠C=30°，$$FM=2，$

$∴FC=2FM=4.$

又$DF=FC，$

$∴DF=4.$

$∵△ADF$是等边三角形，

$∴AF=DF=4，$

$∴AC=AF+CF=4+4=8.$

又$∵AB=AC，$

$∴AB=8.$

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