第53页 - 通城学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

①②③⑤

证明：$(1)∵BF=AC，$$AB=AE，$

$∴AB+BF=AE+AC，$

$∴FA=EC.$

$∵△DEF$是等边三角形，

$∴EF=DE.$

$∵AE=CD，$

$∴△AEF≌△CDE.$

$(2)∵△AEF≌△CDE$

$∴∠FEA=∠EDC.$

$∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF，$$△DEF$是等边三角形，

$∴∠DEF=60°，$

$∴∠BCA=60°.$

$∵△AEF≌△CDE.$

$∴∠EFA=∠DEC.$

$∵∠DEC+∠FEC=60°，$

$∴∠EFA+∠FEC=60°.$

$∵∠BAC$是$△AEF$的外角，

$∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，$

$∴△ABC$中，$∠ABC=180°-60°-60°=60°，$

$∴AB=AC=BC，$

$∴△ABC$是等边三角形.

证明：$(1)∵AB=AC，AD⊥BC$

$∴∠BAD=∠DAC=\frac {1}{2}∠BAC$

$∵∠BAC=120°$

$∴∠BAD=∠DAC=\frac {1}{2}×120°=60°$

$∵AD=AB$

$∴△ABD$是等边三角形

$(2)∵△ABD$是等边三角形，

$∴∠ABD=∠ADB=60°，$$BD=AD.$

$∵∠EDF=60°，$

$∴ ∠ADB=∠EDF. $

$∴ ∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE. $

$∴ ∠BDE = ∠ADF. $

在$△BDE $和$△ADF $中,

$\begin{cases}{∠DBE=∠DAF=60°，}\\{BD=AD， }\\{∠BDE=∠ADF}\end{cases}$

$∴△BDE≌△ADF.$

$∴ BE=AF$

证明：$(1)$在$AC$上截取$CM=CD，$

$∵△ABC$是等边三角形，

$∴∠ACB=60°，$

$∴△CDM$是等边三角形，

$∴MD=CD=CM，$$∠CMD=∠CDM=60°，$

$∴∠AMD=120°，$

$∵∠ADE=60°，$

$∴∠ADE=∠MDC，$

$∴∠ADM=∠EDC，$

$∵DE$与$∠ACB$的外角平分线交于点$E，$

$∴∠ACE=60°，$

$∴∠DCE=120°=∠AMD，$

在$△ADM$和$△EDC$中，

$∠ADM=∠EDC$

$MD=CD$

$∠AMD=∠ECD$

$∴△ADM≌△EDC(\mathrm {ASA})，$

$∴AM=EC，$

$∴CA=CD+CE$

$(2)CA=CE-CD.$

证明：在$AC$的延长线上截取$CM=CD，$

$∵△ABC$是等边三角形，

$∴∠ACB=60°，$

$∴∠DCM=60°，$

$∴△CDM$是等边三角形，

$∴MD=CD=CM，$$∠CMD=∠CDM=60°，$

$∵DE$与$∠ACB$的外角平分线交于点$E，$

$∴∠ACE=∠DCE=60°，$

$∴∠ECD=∠AMD，$

$∵∠ADE=60°，$

$∴∠ADE=∠CDM，$

$∴∠ADM=∠EDC，$

在$△ADM$和$△EDC$中，

$\begin{cases}{∠ADM=∠EDC}\\{MD=CD}\\{∠AMD=∠ECD}\end{cases}$

$∴△ADM≌△EDC(\mathrm {ASA})，$

$∴AM=EC，$

$∴CA=AM-CM=CE-CD.$