第31页 - 通城学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

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证明:如图，过点$O$作$OE⊥AB$于点$E.$

由题意，可知$OC⊥AC，AO$平分$∠CAB，$

$∴OC=OE.$

同理，可得$OD=OE，$

$∴OC=OD$

证明$：∵ BD $平分$∠ABC，$

$∴ ∠ABE=∠CBE.$

在$△ABE $和$△CBE $中，

$\begin{cases}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBE， }\\{BE=BE}\end{cases}$

$∴ △ABE ≌ △CBE.$

$∴∠AEB=∠CEB.$

$∴∠AED=∠CED，$

即$ED$平分$∠AEC.$

又$∵DF⊥AE，DG⊥CE，$

$∴ DF=DG$

△CDF

证明$：(1)∵AD$平分$∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，$

$∴ DE=DF，∠BED=∠F=90°.$

在$ Rt△BDE $和$Rt△CDF $中,

$\begin{cases}{BD=CD，}\\{DE=DF，}\end{cases}$

$∴ Rt△BDE≌Rt△CDF$

$(2)$在$Rt△ADE$和$，Rt△ADF $中,

$AD=AD，$

$DE=DF，$

$∴ Rt△ADE≌Rt△ADF. $

$∴AE=AF.$

$∵AE=6\ \mathrm {cm}，$

$∴AF=6\ \mathrm {cm}.$

$∵AC=4\ \mathrm {cm}，$

$∴ CF=AF-AC=2\ \mathrm {cm}.$

由$(1)，$可知$△BDE≌△CDF，$

$∴ BE=CF.$

$∴BE=2\ \mathrm {cm}$