第36页 - 通城学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

$2＜AC＜18$

$2＜EF＜8 $

证明:过点$B$作$BM⊥AD，$交$AD $的延长线于点$M，$过点$C$作$CN⊥AD $于点$N.$

$∵ AD$为$△ABC$的中线，

$∴ BD=CD.$

在$△BDM$和$△CDN$中，

$\begin{cases}{∠BMD=∠CND=90°}\\{∠BDM=∠CDN， }\\{BD=CD}\end{cases}$

$∴ △BDM≌△CDN. $

$∴ BM=CN. $

在$ Rt△ACN $和$ Rt△EBM $中，

$AC=EB，$

$CN=BM，$

$∴ Rt△ACN≌RtEBM. $

$∴∠CAN=∠BEM.$

$∵∠AEF=∠BEM，$

$∴∠CAE=∠AEF$

证明$：(1)$如图，过点$E$作$EG⊥BF，$交$BF$的延长线于点$G，$

则$∠CGE=∠ABC=90°. $

$∵ ∠ACE=90°， $

$∴ ∠ACB+∠ECG=90°. $

$∵ ∠ACB+∠CAB=90°， $

$∴ ∠ECG=∠CAB.$

在$△ABC$和$△CGE$中，

$\begin{cases}{∠CAB=∠ECG}\\{∠ABC=∠CGE}\\{AC=CE }\end{cases}$

$∴ △ABC≌△CGE. $

$∴ BC=GE. $

$∵ BC=CD， $

$∴ GE=CD. $

$∵ ∠BCD=90°， $

$∴ ∠DCF=90°=∠EGF.$

在$△CFD$和$△GFE$中，

$\begin{cases}{∠DCF=∠EGF，}\\{∠CFD=∠GFE，}\\{CD=GE，}\end{cases}$

$∴ △CFD≌△GFE. $

$∴ DF=EF $

$(2) ∵ △CFD≌△GFE，$

$∴ S_{△CFD}=S_{△GFE}. $

$∴ S_{△CFD}+S_{△CFE}=S_{△GFE}+S_{△CFE}，$

即$S_{△DCE}=S_{△CGE}$

$∵△ABC≌△CGE$

$∴S_{△ABC}=S_{△CGE}$

$∴S_{△ABC}=S_{△DCE}$

证明：在$AE$上截取$AM=AD，$连接$CM.$

$∵AC$平分$∠BAD，$

$∴∠1=∠2.$

在$△AMC$和$△ADC$中

$ \{ \begin{array}{l}{AC=AC} \\{∠1＝∠2} \\{AD＝AM} \end{array}，$

$∴△AMC≌△ADC(\mathrm {SAS})，$

$∴∠3=∠D.$

$∵∠B+∠D=180°，$$∠3+∠4=180°，$

$∴∠4=∠B，$

$∴CM=CB.$

$∵CE⊥AB，$

$∴ME=EB.$

$∵AE=AM+ME，$

$∴AE=AD+EB.$