第35页 - 通城学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

证明：$(1)∵∠BAC=∠EAD，$

$∴∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC，$即$∠DAB=∠EAC，$

在$△EAC$和$△DAB$中，

$\begin{cases}{AE=AD}\\{∠EAC=∠DAB}\\{AC=AB}\end{cases}$

$∴△ABD≌△ACE(\mathrm {SAS}).$

$(2)$解：$∵∠BAC=∠EAD，$$∠CAD=100°，$

$∴∠BAC=∠EAD=\frac {180°-∠CAD}{2}=\frac {180°-100°}{2}=40°，$

$∵∠BAC$是$△EAC$的外角，

$∴∠BAC=∠AEC+∠ACE=40°，$

$∵△ABD≌△ACE，$

$∴∠ECA=∠DBA，$

$∵∠DME$是$△BME$的外角，

$∴∠DME=∠AEC+∠ABD=∠AEC+∠ACE=40°.$

解:∵ 点$A$的坐标为$(0，4)，$点$C$的坐标为$(-1，0)， $

$∴ OA=4，OC=1.$

过点$B$作$BD⊥x$轴于点$D. $

$∵ AC⊥BC，$

$∴ ∠BDC=∠ACB=90°$

$∴ ∠BCD+∠CBD=90°，∠ACO+∠BCD=90°. $

$∴ ∠ACO=∠CBD. $

在$△AOC $和$△CDB $中，

$\begin{cases}{∠ACO=∠CBD，}\\{∠AOC=∠CDB， }\\{AC=CB}\end{cases}$

$∴ △AOC≌△CDB. $

$∴ CD=AO=4，BD=CO=1. $

$∴ OD=CD-OC=3. $

∴ 点$B$的坐标为$(3，-1)$

证明$：(1)∵∠BED=∠CFD=∠BAC，∠BED=∠BAE+∠ABE，$

$∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠CFD=∠FCA+∠CAF， $

$∴ ∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA.$

在$△ABE$和$△CAF $中，

$\begin{cases}{∠ABE=∠CAF}\\{AB=CA，}\\{∠BAE=∠ACF }\end{cases}$

$∴ △ABE≌△CAF$

$(2) ∵ △ABE≌△CAF， $

$∴ S_{1}=S_{△ACF}. $

$∴ S_{1}+S_{2}=S_{△ACD}.$

$∵ S_{△ABC}=18， \frac {BD}{BC}=\frac {1}{3} ，$

$∴ S_{△ACD}= \frac {2}{3}S_{△ABC}=12. $

$∴ S_{1}+S_{2}=12$

证明：如图，延长$DC$至$M，$使$CM=AE，$

在$△ABE$和$△CBM$中，

$ \{\begin{matrix}CM=AE\\\angle BCM=\angle A=90°\\AB=BC\end{matrix}，$

$∴△ABE≌△CBM(\mathrm {SAS})，$

$∴BM=BE，$$∠CBM=∠ABE，$

$∵∠D=60°，$$∠A=∠C=90°，$

$∴∠ABC=360°-60°-90°×2=120°.$

$∵∠EBF=60°，$

$∴∠ABE+∠CBF=∠ABC-∠EBF=120°-60°=60°，$

$∴∠MBF=∠MCB+∠CBF=∠ABE+∠CBF=60°，$

$∴∠EBF=∠MBF，$

在$△BMF $和$△BEF $中，

$ \{\begin{matrix}BM=BE\\\angle EBF=\angle MBF\\BF=BF\end{matrix}，$

$∴△BMF≌△BEF(\mathrm {SAS})，$

$∴MF=EF.$

$∵MF=MC+CF，$

$∴EF=AE+CF.$