解$：(1) \triangle OBC≌\triangle ABD.$
证明：$∵\triangle AOB，$$\triangle CBD$都是等边三角形，
$∴OB=AB，$$CB=DB，$$\angle ABO= \angle DBC，$
$∴\angle OBC= \angle ABC，$
在$\triangle OBC$和$\triangle ABD$中，
$\begin{cases}OB=AB\\\angle OBC=\angle ABC\\CB=DB\ \end{cases}，$
$∴\triangle OBC≌\triangle ABD(\mathrm {SAS})$
$(2)∵\triangle OBC≌\triangle ABD，$
$∴\angle BOC= \angle BAD=60^{ \circ }，$
又$∵\angle OAB=60^{ \circ }，$
$∴\angle OAE=180^{ \circ }-60^{ \circ }-60^{ \circ }=60^{ \circ }，$
$∴\angle EAC=120^{ \circ }，$$\angle OEA=30^{ \circ }，$
∴以$A，$$E，$$C$为顶点的三角形是等腰三角形时，$AE$和$AC$是腰，
∵在$Rt\triangle AOE$中，$OA=1，$$\angle OEA=30^{ \circ }，$
$∴AE=2，$
$∴AC=AE=2，$
$∴OC=1+2=3，$
∴当点$C$的坐标为$(3，0)$时，以$A，$$E，$$C$为顶点的三角形是等腰三角形.
