解：设矩形两条邻边的长分别为$x_1、$$x_2$
由根与系数的关系，可得$x_1+x_2=k+1，$$x_1x_2=\frac 14k^2+1$
由方程有两个根，可得$△=[-(k+1)]^2-4(\frac 14k^2+1)=2k-3≥0$
解得$k≥\frac 32$
又∵矩形对角线的长为$\sqrt {5}$
∴由勾股定理可得$x_1^2+x_2^2=(\sqrt {5})^2$
∴$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=5$
∴$(k+1)^2-2(\frac 14k^2+1)=5$
整理得$k^2+4k-12=0$
解得$k_1=2，$$k_2=-6$
又∵$k≥\frac 32$
∴$k=2$
