$(1)$证明：由题意得$△=[-(m+2)]^2-4×1×(2m-1)=\mathrm {m^2}+4m+4-8m+4=(m-2)^2+4$
∵$(m-2)^2≥0$
∴$(m-2)^2+4＞0，$即$△＞0$
∴一元二次方程$x^2-(m+2)x+2m-1=0$有两个不相等的实数根
$(2)$解：设一元二次方程$x²-(m+2)x+2m-1=0$的另一个根为α
则$ 1+α=m+2，$$1×α=2m-1$
∴$1+2m-1=m+2$
解得$m=2$
∴$α=2m-1=3$
∴$m $的值为$2，$该方程的另一个根为$3$
