第35页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

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y=x²+2

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解：$(1)$由题意，得$OP=2，$$OA=OB，$$S_{△ABP}=\frac 12AB ·OP=4$

∴$AB=4$

∴$OA=OB=2$

∴点$A$的坐标为$(-2，$$0)，$点$B$的坐标为$(2，$$0)$

$(2)$由题意，可设此抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+c (a≠0)$

将$P(0，$$-2)，$$A (-2，$$0)$代入得

$\begin{cases}c=-2\\a ·(-2)^2+c=0\end{cases} $ 解得$\begin{cases}{}a=\dfrac 12\\c=-2\end{cases}$

∴此抛物线对应的函数解析式为$y=\frac 12x^2-2 $

$(3)$将抛物线向上平移$2$个单位长度，可以使平移后的抛物线经过原点

解：$(1)$把$A(1，$$b)$代入$y=2x，$得$b=2$

∴$A(1，$$2)$

把$A(1，$$2)$代入$y=ax^2+3，$得$a=-1$

$(2)$把$B(m，$$4)$代入$y=2x，$得$m=2$

∴$B(2，$$4)$

∵抛物线$y=-x^2+3$的顶点$C$的坐标是$(0，$$3)$

∴$OC=3$

∴$S_{△ABC}=S_{△OBC}-S_{△OAC}=\frac 12×3×2-\frac 12×3×1=\frac 32$

$(3)$设点$C$关于$x$轴的对称点为$C'，$则点$C'$的坐标为$(0，$$-3)$

连接$AC'，$交$x$轴于点$P，$此时$PA+PC$的值最小

设直线$AC'$对应的函数解析式为$y=kx+n$

把$C'(0，$$-3)，$$A(1，$$2)$代入，

得$\begin{cases}{n=-3}\\{k+n=2}\end{cases}$解得$\begin{cases}{k=5}\\{n=-3}\end{cases}$

∴$y=5x-3$

当$y=0$时，$x=\frac {3}{5}$

∴点$P $的坐标是$(\frac {3}{5}，$$0)$