解：$(1)$在$Rt△ABC$中，$∠B=90°，$$∠BAC=50°$
∴$∠BCA=40°$
由旋转可知$∠DAE=∠BAC=50°，$$AE=AC$
∴$∠AEC=∠ACE=\frac 12×(180°-50°)=65°$
∴$∠BCE=∠BCA+∠ACE=40°+65°=105°$
$(2)$在$Rt△ABC $中，$∠B=90°$
∴$AC= \sqrt {AB²+BC²}=5$
∴$S_{△ABC}=\frac {1}{2}AB · BC=\frac {1}{2}×3×4=6$
由旋转，可知$DE=BC=4，$$∠ADE=∠B=90°$
∴$S_{△ACE}=\frac {1}{2}\ \mathrm {AC} · DE=\frac {1}{2}×5×4=10$
∴$S_{四边形ABCE}=S_{△ABC}+S_{△ACE}=6+10=16$
