解：$ (1)$∵在正方形$ABCD$中，点$E，$$F$在对角线$BD$上
∴$∠ADF=45°，$$∠BAD=90°$
∵$△ADF$绕点$A$按顺时针方向旋转$90°$得到$△ABQ$
∴$∠QAF=90°，$$△ABQ≌△ADF$
∴$∠QAB=∠FAD，$$ BQ=DF，$$AQ=AF，$$∠ABQ=∠ADF =45°$
∵$∠EAF=45°$
∴$∠EAQ=45°$
∴$∠EAQ=∠EAF$
在$△AQE$和$△AFE$中
$\begin{cases}AQ=AF\\∠EAQ=∠EAF\\AE=AE\end{cases}$
∴$△AQE≌△AFE$
∴$∠AEQ=∠AEF$
∴$EA$是$∠QED$的平分线
$(2)$由$(1)，$得$△AQE≌△AFE$
∴$EQ=EF$
∵四边形$ABCD$是正方形
∴$∠ABD=45°$
又∵$∠ABQ=45°$
∴$∠QBE=90°$
∴在$Rt△QBE$中，$EQ^2=BE^2+BQ^2$
又∵$BQ=DF$
∴$EF^2=BE^2+DF^2$
