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证明：$(1)$在$△ABE$和$△ACF $中,

$\begin{cases}{∠ABE=∠ACF，}\\{∠A=∠A， }\\{AE=AF，}\end{cases}$

$∴ △ABE≌△ACF. $

$∴ AB=AC. $

$∴ ∠ABC=∠ACB. $

$∴ ∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACF. $

$∴ ∠DBC=∠DCB. $

$∴ DB=DC.$

$∴ △BCD$是等腰三角形

$(2)$由$(1)，$知$AB=AC.$

$∵∠A=40°，$

$∴∠ABC=∠ACB=\frac {1}{2}×(180°-40°)=70°$

由$(1)，$知$BD=CD.$

$∵ BC=BD，$

$∴BD=CD=BC.$

$∴△DBC$是等边三角形

$∴ ∠DBC=60°. $

$∴ ∠ABE=∠ABC-∠DBC=10°.$

$∴∠BEC=∠A+∠ABE=50°$

证明：$(1)∵$四边形$ABCD$中，$∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，$$∠A=∠C=90°，$

$∴∠ABC+∠ADC=180°.$

$(2)∵DF∥BE，$

$∴∠2=∠DFC，$

$∵∠1=∠2，$直角$△DCF $中，$∠DFC+∠4=90°，$

$∴\frac {1}{2}∠ABC+∠4=90°，$

$∵∠ABC+∠ADC=180°，$

即$\frac {1}{2}∠ABC+\frac {1}{2}∠ADC=90°，$

$∴\frac {1}{2}∠ADC=∠4，$

$∴∠3=∠4，$即$DF{平分}∠ADC.$