证明：$ (1)∵m≠n，$
$∴m-n≠0，$
$∵\ \mathrm {m^2}=n+2，$$n^2=m+2，$
$∴\ \mathrm {m^2}-n^2=n-m，$则$(m+n)(m-n)=-(n-m).$
则$m+n=-1.$
$(2)$由已知两式相加，得$\ \mathrm {m^2}+n^2=m+n+4，$
即$(m+n)^2-2mn=m+n+4，$
将$m+n=-1$代入，得
$1-2mn=-1+4，$
$mn=-1.$
$\frac {1}{m}+\frac {1}{n}=\frac {m+n}{mn}=1.$
