解：$(1)$∵$AB$是$\odot O$的直径，弦$CD⊥AB，$$CD=16$
∴$∠OED=90°，$$DE=\frac 12CD=8$
∵$BE=4$
∴$OE=OB-BE=OD-4$
在$Rt△OED$中，∵$OE^2+DE^2=OD^2$
∴$ (OD-4)^2+8^2=OD^2$
∴$OD=10$
∴$\odot O$的直径为$20 $
$(2) $由$(1)，$得$∠OED=90°$
∴$∠EOD+∠D=90°$
∵$∠M=∠D，$$∠EOD= 2∠M$
∴$∠EOD+∠D= 2∠M+∠D= 2∠D+∠D=90°$
∴$∠D=30°$
