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24°
​$2\sqrt {2} $​
解:​$(1)$​连接​$BD$​
∵​$\widehat{AD}=\widehat{AD}$​
∴​$∠B=∠ACD$​
∵​$∠ACD=30°$​
∴​$∠B=30°$​
∵​$ AB$​是​$\odot O$​的直径
∴​$∠ADB=90°$​
在​$Rt△ADB$​中,​$∠DAB=90°-∠B=60° $​
​$(2)$​∵​$∠ ADB = 90°,$​​$∠B=30°,$​​$AB=4$​
∴​$AD=\frac 12AB=2$​
∴在​$Rt△ADB$​中,​$DB= \sqrt {AB^2-AD^2} =\sqrt {4^2-2^2}=2\sqrt {3}$​
∵​$DE⊥AB,$​​$∠B=30°$​
∴在​$Rt△DEB$​中,​$DE =\frac 12DB=\sqrt {3}$​
∵​$ DE⊥AB,$​​$AB$​是​$\odot O$​的直径
∴​$DF=2DE=2\sqrt {3}$​

​$(1)$​证明:∵​$\widehat{AB}=\widehat{AB}$​
∴​$∠ACB=\frac 12∠AOB$​
∵​$\widehat{BC}=\widehat{BC}$​
∴​$∠BAC=\frac 12∠BOC$​
∵​$∠ACB=2∠BAC$​
∴​$∠AOB=2∠BOC$​
​$(2)$​解:如图,过点​$O$​作半径​$OD⊥AB$​于点​$E,$​连接​$BD$​
∵​$ OA = OB$​
∴ 易得​$∠DOB = \frac {1}{2}∠AOB,$​​$AE = BE$​
∵​$∠AOB=2∠BOC$​
∴​$ ∠DOB =∠BOC$​
∴​$ BD=BC$​
∵​$AB=4,$​​$BC= \sqrt {5}$​
∴​$ BE=2,$​​$DB= \sqrt {5}$​
在​$ Rt△BDE $​中,∵​$∠DEB=90°$​
∴​$ DE= \sqrt {BD²-BE²}=1$​
 ∴​$ OE=OD-DE=OB-1$​
 在​$ Rt△BOE $​中,∵​$ ∠OEB=90°$​
∴​$ OB²=(OB-1)²+2²$​
∴​$OB=\frac {5}{2},$​即​$⊙O$​的半径是​$\frac {5}{2}$​

​$(1) $​证明:∵​$∠ADC=∠BCD=90°$​
∴​$AC,$​​$BD$​是​$\odot O$​的直径,且交点为圆心​$O$​
∴​$AD=CD,$​​$AO=CO$​
∴​$AC⊥BD$​
​$(2)$​连接​$CO$​并延长,交​$\odot O$​于点​$K,$​连接​$DK,$​​$BC$​
则​$∠KDC = 90°$
∴​$∠K+∠KCD=90°$​
∵​$ AC⊥BD$​
∴​$∠ACB +∠EBC=90°$​
∵​$∠K=∠EBC$​
∴​$∠KCD=∠ACB$​
∴​$\widehat{DK}=\widehat{AB}$​
∴​$DK=AB=2$​
在​$Rt△KCD$​中,∵​$DC=4,$​​$DK=2$​
∴​$KC=\sqrt {2^2+4^2}=2\sqrt {5}$​
∴​$\odot O$​的半径为​$\sqrt {5}$​