$(1)$证明:∵$\widehat{AB}=\widehat{AB}$
∴$∠ACB=\frac 12∠AOB$
∵$\widehat{BC}=\widehat{BC}$
∴$∠BAC=\frac 12∠BOC$
∵$∠ACB=2∠BAC$
∴$∠AOB=2∠BOC$
$(2)$解:如图,过点$O$作半径$OD⊥AB$于点$E,$连接$BD$
∵$ OA = OB$
∴ 易得$∠DOB = \frac {1}{2}∠AOB,$$AE = BE$
∵$∠AOB=2∠BOC$
∴$ ∠DOB =∠BOC$
∴$ BD=BC$
∵$AB=4,$$BC= \sqrt {5}$
∴$ BE=2,$$DB= \sqrt {5}$
在$ Rt△BDE $中,∵$∠DEB=90°$
∴$ DE= \sqrt {BD²-BE²}=1$
∴$ OE=OD-DE=OB-1$
在$ Rt△BOE $中,∵$ ∠OEB=90°$
∴$ OB²=(OB-1)²+2²$
∴$OB=\frac {5}{2},$即$⊙O$的半径是$\frac {5}{2}$