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24°

$2\sqrt {2} $

解：$(1)$连接$BD$

∵$\widehat{AD}=\widehat{AD}$

∴$∠B=∠ACD$

∵$∠ACD=30°$

∴$∠B=30°$

∵$ AB$是$\odot O$的直径

∴$∠ADB=90°$

在$Rt△ADB$中，$∠DAB=90°-∠B=60° $

$(2)$∵$∠ ADB = 90°，$$∠B=30°，$$AB=4$

∴$AD=\frac 12AB=2$

∴在$Rt△ADB$中，$DB= \sqrt {AB^2-AD^2} =\sqrt {4^2-2^2}=2\sqrt {3}$

∵$DE⊥AB，$$∠B=30°$

∴在$Rt△DEB$中，$DE =\frac 12DB=\sqrt {3}$

∵$ DE⊥AB，$$AB$是$\odot O$的直径

∴$DF=2DE=2\sqrt {3}$

$(1)$证明：∵$\widehat{AB}=\widehat{AB}$

∴$∠ACB=\frac 12∠AOB$

∵$\widehat{BC}=\widehat{BC}$

∴$∠BAC=\frac 12∠BOC$

∵$∠ACB=2∠BAC$

∴$∠AOB=2∠BOC$

$(2)$解：如图，过点$O$作半径$OD⊥AB$于点$E，$连接$BD$

∵$ OA = OB$

∴ 易得$∠DOB = \frac {1}{2}∠AOB，$$AE = BE$

∵$∠AOB=2∠BOC$

∴$ ∠DOB =∠BOC$

∴$ BD=BC$

∵$AB=4，$$BC= \sqrt {5}$

∴$ BE=2，$$DB= \sqrt {5}$

在$ Rt△BDE $中，∵$∠DEB=90°$

∴$ DE= \sqrt {BD²-BE²}=1$

∴$ OE=OD-DE=OB-1$

在$ Rt△BOE $中，∵$ ∠OEB=90°$

∴$ OB²=(OB-1)²+2²$

∴$OB=\frac {5}{2}，$即$⊙O$的半径是$\frac {5}{2}$

$(1) $证明：∵$∠ADC=∠BCD=90°$

∴$AC，$$BD$是$\odot O$的直径，且交点为圆心$O$

∴$AD=CD，$$AO=CO$

∴$AC⊥BD$

$(2)$连接$CO$并延长，交$\odot O$于点$K，$连接$DK，$$BC$

则$∠KDC = 90°$

∴$∠K+∠KCD=90°$

∵$ AC⊥BD$

∴$∠ACB +∠EBC=90°$

∵$∠K=∠EBC$

∴$∠KCD=∠ACB$

∴$\widehat{DK}=\widehat{AB}$

∴$DK=AB=2$

在$Rt△KCD$中，∵$DC=4，$$DK=2$

∴$KC=\sqrt {2^2+4^2}=2\sqrt {5}$

∴$\odot O$的半径为$\sqrt {5}$

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