解：$(1) $如图，连接$OD$
∵$ OA⊥OC$
∴$∠AOC=90°$
∵$\widehat{AD}=2\widehat{CD}$
∴$∠AOD=2∠COD$
∴$∠COD=\frac 13∠AOC= 30°$
$(2)$如图，连接$AD$
由$(1)，$知$∠AOD=2∠COD=2× 30°= 60°$
∵$OA=OD$
∴$△AOD$为等边三角形
∴$ AD=OA=4$
$(3)$如图，过点$D$作$DE⊥OC，$交$\odot O$于点$E，$连接$AE，$
交$OD，$$OC$于点$B，$$P，$连接$DP ，$$OE，$则此时$AP+PD$的值最小
根据圆的对称性，易得$E$是点$D$关于$OC$的对称点，$OC$是$DE$的垂直平分线
∴$PD=PE$
∴$AP+PD=AP+PE=AE$
由$(1)$知$∠COD=30°，$
∴$∠COE=∠COD=30°$
∴$∠DOE= 60°$
∵$∠ AOD=60°$
∴$∠DOE=∠AOD$
∵$ AO= EO$
∴$OB⊥AE$
∴$AB=BE$
在$Rt△AOB$中，∵$∠AOB=60°$
∴$∠OAB=30°$
∵$OA=4$
∴$OB=\frac 12OA=2$
∴$AB=\sqrt {OA^2-OB^2}=2\sqrt {3}$
∴$ BE=AB=2\sqrt {3}$
∴$AE=AB + BE=4\sqrt {3}$
即$AP + PD$的最小值为$4\sqrt {3}$
