解：$ (1) $直线$BE$与$\odot O$相切，理由：
连接$OD$
∵$CD$是$\odot O$的切线
∴$∠ODC=∠ODE=90°$
又∵$OE//AD$
∴$∠DAO=∠EOB，$$∠ADO=∠EOD.$
∵$AO= DO$
∴$∠DAO=∠ADO$
∴$∠EOB=∠EOD$
在$△ODE$与$△OBE$中
$\begin{cases}OD=OB\\∠EOD=∠EOB\\OE= OE\end{cases}$
∴$△ODE≌△OBE$
∴$∠ODE=∠OBE=90°$
∴$OB⊥BE$
∵$OB$为$\odot O$的半径
∴直线$BE$与$\odot O$相切
$(2)$设$\odot O$的半径为$r，$则$OC=2+r，$$OD=r$
在$Rt△OCD$中，$r^2+4^2=(2+r)^2$
解得$r=3$
∵$△ODE≌△OBE$
∴$DE= BE$
在$Rt△CBE$中，$BC^2 +BE^2=CE^2$
∴$ (2+3+3)^2+DE^2=(4+ DE)^2$
解得$DE=6$
