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A

$\sqrt {2}$

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$(1)$证明：如图，连接$OD$

∵$DE$是$\odot O$的切线

∴$OD⊥DE$

∵$AB=AC$

∴$∠ABC=∠C$

∵$OB=OD$

∴$∠ABC=∠ODB$

∴$∠ODB=∠C$

∴$OD//AC$

∴$DE⊥AC$

$(2)$解：如图，连接$BF，$$AD$

∵$AB$是$⊙O$的直径

∴$∠AFB=∠ADB=90°$

∵$AB=AC=10，$$AF=8$

∴$BF= \sqrt {AB²-AF²}=6，$$FC=AC-AF=2$

在$Rt△BFC$中，$BC= \sqrt {BF^2+FC²}=2 \sqrt {10}$

∵$∠ADB=90°$

∴$ AD⊥BC$

∵$ AB=AC$

∴$ BD=CD$

∴$BD= \sqrt {10}$

证明：$ (1)$如图，连接$OC$

∵$AB$为$\odot O$的直径，$AB⊥CD$

∴$\widehat{BC}= \widehat{BD}$

∴$∠COB =∠BOD$

∵$∠COB = 2∠CAB$

∴$∠BOD= 2∠CAB$

$(2)$如图，连接$AD$

∵$OA = OD$

∴$∠OAD=∠ODA$

同理，可得$∠OAC= ∠OCA，$$∠OCD=∠ODC$

∵$OA=OC，$$F $为$AC$的中点

∴$OF⊥AC$

∴$DF$垂直平分$AC$

∴易得$∠ODA=∠ODC$

∵$\widehat{BC}=\widehat{BD}$

∴$∠OAC=∠OAD$

∴$∠OAD=∠ODA= ∠OAC=∠OCA=∠OCD=∠ODC$

∵$∠OAD+∠ODA+∠OAC+∠OCA+∠OCD+ ∠ODC= 180°$

∴$∠OAD= ∠ODA =∠OAC =∠OCA= ∠OCD=∠ODC=30°$

∴$∠COB=2∠CAO=2×30°=60°$

∵$AB$为$\odot O$的直径

∴$∠ADB=90°$

∴$∠ABD=90°-∠DAO= 90°- 30°= 60°$

∴$∠ABD=∠COB = 60°$

∴$OC//DE$

∵$CE⊥BE$

∴$ CE⊥OC$

∴直线$CE$为$\odot O$的切线

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