解：$ (1) $连接$ O P $
∵$P A，$$ P C $分别与$ \odot O $相切于点$ A，$$ C$
∴$P A=P C，$$ O C \perp P C，$$ B A \perp P A$
∵$O A=O C，$$ O P=O P $
∴$ Rt \triangle O P A ≌ Rt \triangle O P C $
∴$\angle A O P=\angle C O P$
∵$P Q \perp P A$
∴$P Q / / B A$
∴$\angle Q P O=\angle A O P $
∴$\angle Q O P=\angle Q P O $
∴$O Q=P Q $
$ (2) $设$ O A=r $
∵$O B=O C$
∴$\angle B=\angle O C B $
∵$O B / / Q D$
∴$\angle Q D C=\angle B $
∵$\angle O C B=\angle Q C D $
∴$\angle Q C D=\angle Q D C $
∴$Q C=Q D=6 $
∵$O Q=P Q$
∴$O Q- Q C=P Q-Q D ，$ 即$ O C=P D=r $
∵$P A=A B，$$ P A=P C $
∴$P C=A B=2\ \mathrm {r}$
∵$P C $是$ \odot O $的切线
∴$O C \perp P C $
∴$\angle O C P=\angle P C Q=90°$
在$ Rt \triangle P C Q $中， ∵$P Q^2=P C^2+ Q C^2$
∴$(6+r)^2=(2\ \mathrm {r})^2+6^2 $
解得$ r_1=4，$$ r_2=0 ($不合题意， 舍去)
∴$O C=4，$$ P C=8$
∴在$ Rt \triangle O C P $中，$ O P=\sqrt {4^2+8^2}= 4 \sqrt {5} $
∵$O B=O C=P D，$$ O B / / P D$
∴四边形$ O B D P $是平行四边形
∴$B D=O P=4 \sqrt {5} $
