$(1)$证明：如图，连接$OC$
∵$\odot O$和底边$AB$相切于点$C$
∴$OC⊥AB$
∵$ OA=OB，$$∠AOB=120°$
∴$ ∠AOC=∠BOC=\frac {1}{2} ∠AOB=60°$
∵$ OD=OC=OE$
∴$ △ODC$和$△OCE$都是等边三角形
∴$ OD=CD=CE=OE$
∴ 四边形$ODCE$是菱形
$(2)$解：如图，连接$DE，$交$OC$于点$F$
∵四边形$ODCE$是菱形
∴$OF=\frac {1}{2}OC=1，$$DE=2DF，$$∠OFD=90°$
在$Rt△ODF$中，$OD=2$
∴$ DF= \sqrt {OD²-OF²}= \sqrt {2²-1²}=\sqrt {3}$
∴$ DE=2DF=2\sqrt {3}$
∴图中涂色部分的面积$=$扇形$DOE$的面积-菱形$ODCE$的面积
$=\frac {120π×2^2}{360}-\frac {1}{2}OC · DE=\frac {4π}{3}-\frac {1}{2}×2×2\sqrt {3}=\frac {4π}{3}-2\sqrt {3}$
