第113页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

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A

$(1)$证明：∵$OD⊥AC$

∴$\widehat{CD}=\widehat{AD}$

∴$∠CBD=∠DBA$

∴$BD$平分$∠ABC$

$(2)$解：∵$ OB=OD$

∴$∠OBD=∠ODB=30°$

∴$∠ABC=60°$

∵$ AB$是$⊙O$的直径

∴$ ∠ACB=90°$

在$Rt△ABC$中，∵$∠A=90°-60°=30°，$$BC=\sqrt {3}$

∴$AB=2BC=2\sqrt {3}$

∴$⊙O$的半径为$ \sqrt {3}$

$(1)$证明：连接$OC$

∵$OA=OC$

∴$∠OAC=∠OCA$

∵$C$是$\widehat{BD}$的中点

∴$\widehat{BC}=\widehat{CD}$

∴$∠OAC=∠CAE$

∴$∠CAE=∠OCA$

∴$OC//AE$

∵$AE⊥CE$

∴$OC⊥CE$

∵$OC$是$\odot O$的半径

∴$CE$是$\odot O$的切线

$(2)$解：∵$AB$是$⊙O$的直径

∴$∠ACB=90°$

∵$BC=6，$$AC=8$

∴ 由勾股定理，得$AB=10$

过点$C$作$CH⊥AB $于点$H$

∵$ S_{△ABC}=\frac {1}{2}\ \mathrm {AC} · BC=\frac {1}{2}AB · CH$

∴$CH=\frac {AC · BC}{AB}=\frac {24}{5}$

由$(1)，$知$∠OAC=∠CAE，$$CE⊥AE，$$CH⊥AB$

∴$CE=CH=\frac {24}{5}$

又∵$ \widehat{CD}=\widehat{BC}$

∴$CD=BC=6$

在$Rt△CDE$中，由勾股定理，得$DE= \sqrt {CD²-CE²}=\frac {18}{5}$