解：$(1)$在图①中，∵$AB=x$米
∴$AD=\frac {76+18+1-(3x-1)}2=\frac {96-3x}2($米)
∴$y_{1}=x · \frac {96-3x}2=-\frac 32x^2+48x$
在图②中，∵$AB=x$米
∴$AD=76+1-(3x-1)=(78-3x)$米
∴$y_{2}=x · (78-3x)=-3x^2+78x$
$(2)$不同意她的说法，理由：
∵$ y_{1} =-\frac {3}{2} x²+48x=-\frac {3}{2}(x²-32x)=-\frac {3}{2}(x-16)²+384$
而$-\frac {3}{2}＜0$
∴ 当$x=16$时，$y_{1} $有最大值，最大值是$384$
此时，$AD=\frac {96-3×16}{2}=24($米)，$24＞18，$符合题意
∵$ y_{2}=-3x²+78x=-3(x-13)²+507，$而$-3＜0$
∴ 当$x=13$时，$y_{2}$有最大值，最大值是$507$
∵当$x=13$时，$AD=78-3×13=39($米)，$39＞18，$不符合题意
∴$y_{2}$的最大值不能是$507$
∴不同意她的说法
