$解：(1)如图①，延长BD，交AF于点M，在△BCD和△FCE中，$
${{\begin{cases} { {BC=FC，}} \\{∠BCD=∠FCE，} \\ {CD=CE，} \end{cases}}}$
$∴△BCD≌△FCE(SAS)$
$∴∠DBC=∠EFC$
$∴BD//EF$
$∴∠BMF+∠EFM=180°$
$∵AF⊥EF$
$∴∠EFM=90°$
$∴∠BMF=90°$
$∴BD⊥AF$
$(2)由题意补全图形如图②所示$
$如图②，延长BC到点F，使CF=BC，连接AF、EF.$
$∵∠ACB=90°，$
$∴AC⊥BF.$
$∵BC=CF，$
$∴AC垂直平分线段BF，$
$∴ AB=AF.\ $
$由(1)，可知△BCD≌△FCE，$
$∴BD=EF.\ $
$∵ AB²=AE²+BD²，$
$∴ AF²=AE²+EF²，$
$∴∠AEF=90°.$
$由(1)，可知BD//EF，$
$∴∠DHE=∠AEF=90°$
$∵在Rt△DHE中，CE=CD$
$∴CH=\frac 1 2DE=CD$
