$(1)证明：设BD=2xcm(x＞0)，则AD=3xcm，CD=4xcm，$
$∵CD⊥AB$
$∴∠ADC=90°$
$在Rt△ACD中，{AC}^{2}={CD}^{2}+{AD}^{2}$
$∴AC=5x cm$
$又∵AB=BD+AD=5x cm$
$∴AB=AC$
$∴△ABC是等腰三角形$
$(2)解：∵S_{△ABC}=40cm²，$
$又∵S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}×5x·4x(cm²)，$
$∴ \frac{1}{2}×5x·4x=40，$
$∴x=2，$
$∴BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AC=10cm.$
$①当MN//BC时，易证AM=AN，即10-t=t，$
$∴t=5.$
$当DN//BC时，易证AD=AN，则t=6.$
$∴若△DMN的边与BC平行，则t的值为5或6\ $
$②能，∵在Rt△ACD中，E为边AC的中点，$
$∴CE=AE=DE=\frac{1}{2}AC=5cm.$
$当点M在BD(不含点D)上，即0\leqslant t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；$
$当=4时，点M运动到点D处，D、E、M三点不构成三角形；$
$当点M在DA(不含点D)上，即 4＜t\leqslant 10时，△MDE为等腰三角形有3种可能.$
$(I) 若DM=DE，则t-4=5，$
$∴t=9.$
$(II)若ED=EM，此时点M运动到点A，$
$∴t=10.$
$(III)若MD=ME=(t-4)cm，过点E作EF⊥AD于点F.$
$∵DE=AE，$
$∴ DF=\frac{1}{2}AD=3cm，$
$∴ MF=BM-BD-DF=1-4-3=(t-7)cm.$
$在Rt△DEF中，∵DE=5cm，DF=3cm，$
$∴EF²=DE²-DF²，$
$∴EF=4cm.$
$在Rt△EMF中，ME²-MF²=EF²，即(t-4)²-(t-7)²=4²，$
$∴ t=\frac{49}{6}.$
$综上所述，t的值为9或10或\frac{49}{6}$
