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互相垂直

$解：(2)①补全图形如图所示，由(1)知DP⊥AE$

$∴∠APC=90°$

$∴∠ACP+∠CAE=90°$

$∵∠BAC=90°$

$∴∠BAE+∠CAE=90°$

$∴∠BAE=∠ACP$

$②BF=DF，理由如下：$

$作BG⊥AE于点G，则∠AGB=∠APC=90°$

$由①知∠BAE=∠ACP$

$∵AB=AC$

$∴△ABG≌△CAP(\mathrm {AAS})$

$∴BG=AP$

$∵∠ADE=90°，点P 是AE的中点$

$∴PD=AP=\frac{1}{2}AE$

$∴PD=BG$

$∵∠DPE=∠AGB=90°，∠DFP=∠BFG$

$∴△DFP≌△BFG(\mathrm {AAS})$

$∴BF=DF$

$解：(1)∵△ABC是等边三角形$

$∴AB=AC$

$∵点P 与点A重合$

$∴PB= AB，PC=AC，PA=0$

$∴PA+PB=PC或PA+PC=PB$

$(2)PB=PA+PC，理由如下：$

$在BP 上截取BF=CP，连接AF$

$∵△ABC和△ADE都是等边三角形$

$∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°$

$∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD$

$∴∠BAD=∠CAE$

$∴△BAD≌△CAE(\mathrm {SAS})，∴∠ABD=∠ACE$

$∵AC=AB，CP=BF，∴△CAP≌△BAF(\mathrm {SAS})$

$∴∠CAP=∠BAF，AF=AP，$

$∴∠CAP+∠CAF=∠BAF+∠CAF$

$∴∠FAP=∠BAC=60°$

$∴△AFP 是等边三角形，∴PF=AP$

$∴PA+PC=PF+BF=PB$

$(3)PA+PB=PC$

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