$证明：(1)∵\angle A B C=\angle A D C=90°$
$M 、 N 分别是 A C 、 B D 的中点$
$∴在 Rt \triangle A B C 中，B M=\frac{1}{2}AC$
$在 Rt \triangle A C D 中，D M=\frac{1}{2}AC$
$∴B M=D M\ $
$又∵N 是 B D 的中点，∴M N \perp B D\ $
$(2) \triangle M B D 是等腰直角三角形，理由：$
$∵M 是 A C 的中点，∴A M=\frac{1}{2}AC=B M$
$∴\angle BA M=\angle A B M，∴\angle B M C=2 \angle BA M$
$同理可得 \angle D M C=2 \angle DA M\ $
$又∵\angle BA D=45°$
$∴\angle B M D= \angle B M C+\angle D M C$
$=2(\angle BA M+\angle DA M)=2 \angle BA D=90°\ $
$又∵B M=D M，∴\triangle M B D 是等腰直角三角形$
