$解：\ (1)∵A D 是 B C 边上的高$
$∴\angle A D B=\angle A D C=90°\ $
$在 Rt \triangle A D C 中，∵A C=13，C D=5$
$∴A D=\sqrt{A C^{2}-C D^{2}}=12\ $
$在 Rt \triangle A D B 中，∵A B=20，A D=12$
$∴B D=\sqrt{A B^{2}-A D^{2}}=16$
$∴B C=B D+C D=16+5=21$
$∴S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2}\ \mathrm {B}\ \mathrm {C} ·A D=\frac{1}{2} ×21 ×12=126\ $
$(2)证明：∵\triangle A D C 沿 A D 所在的直线翻折得到 \triangle A D E$
$∴A C= A E，D C=D E\ $
$在 Rt \triangle A D C 中，由勾股定理，得 A C^{2}=A D^{2}+ D C^{2}$
$在 Rt \triangle A D B 中，由勾股定理，得 B D^{2}=A B^{2}-A D^{2}$
$∴A B^{2}-A C^{2}=A B^{2}-(A D^{2}+D C^{2})$
$=A B^{2}-A D^{2}-D C^{2}=B D^{2}- D E^{2}$
$=(B D-D E)(B D+D E)\ $
$∵B E=B D-D E，B C=B D+D C= B D+D E$
$∴A B^{2}-A C^{2}=B E ·B C\ $
