第169页 - 经纶学典学霸八年级数学上下册【江苏国标】

12.8

9.6

△A'P'C

两点之间，

线段最短

$解：[类比探究]∵∠ACB＞∠B$

$把△ABC翻折，使点B落在点上$

$∴BD=CD，∠B=∠DCB$

$在△ADC中，AD+CD＞AC$

$∴AD+BD＞AC$

$∴AB＞AC$

$[方法运用](2)BD=AC+CD，理由：$

$如图，在BD上截取DE=DC，连接AE$

$∵DE=DC，∠ADC=∠ADE=90°，AD=AD$

$∴△ADC≌△ADE(\mathrm {SAS})$

$∴AE=AC，∠ACE=∠AEC$

$∵∠C=2∠B$

$∴∠AEC=2∠B=∠B+∠BAE$

$∴∠B=∠BAE$

$∴BE=AE$

$∴BE=AC$

$∴BD=BE+DE=AC+CD$

$解：(2)过点E作ED//CF，使ED=CF，$

$连接DF、CD$

$设CD交 AB 于点O，$

$得∠CFO = ∠DEO$

$在 △DOE 和 △COF中$

$\begin{cases}{∠DOE=∠COF}\\{∠DEO=∠CFO}\\{DE=CF}\end{cases}$

$∴△DOE≌△COF(\mathrm {AAS})$

$∴OC=OD，OE=OF$

$∵AE=BF$

$∴AO=BO=\frac{1}{2}AB=4$

$∵∠ACB=90°，AB=8$

$∴OC=OD=\frac{1}{2}AB=4$

$∴CD=8$

$∴CE+CF=CE+ED≥CD$

$∴CE+CF 的最小值为CD，$

$即CE+CF 的最小值为8$

$(3)CD+BE的最小值为\sqrt {61}$