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$解：(2)∵MN//y轴$

$∴∠DBE=∠EMN$

$在△DBE和△NME中$

$\begin{cases}{∠DBE=∠EMN}\\{∠BED=∠MEN}\\{BD=MN}\end{cases}$

$∴△DBE≌△NME(\mathrm {AAS})$

$∴BE=ME$

$∵点E(2，m)$

$∴点M的横坐标为4$

$∴a的值为4$

$(1)证明：∵AD⊥BC，AD=2，BD=1$

$∴AB²=AD²+BD²=5$

$又∵AD⊥BC，CD=4，AD=2$

$∴AC²=CD²+AD²=20$

$∵BC=CD+BD=5$

$∴BC²=25$

$∴AC²+AB²=25=BC²$

$∴∠BAC=90°$

$(2)解：分三种情况：$

$\ ①当BP=AB时，∵AD⊥BC$

$∴AB= \sqrt{BD²+AD²}=\sqrt{5}$

$∴BP=AB=\sqrt 5$

$\ ②当BP=AP 时，P 是BC的中点$

$∴BP=\frac{1}{2}BC=2.5$

$③当AP=AB时，BP=2BD=2$

$综上所述，BP 的长为\sqrt 5或2或2.5$