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第29页

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150

100

180°

360°

540°

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$解：如图①，延长DC交AB于点F$

$因为∠BFC=∠BCD-∠ABC$

$∠CDE+∠BCD-∠ABC=180°$

$所以∠CDE+∠BFC=180°$

$所以AB//DE$

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$解：如图②，因为∠DMF是△CFM的外角$

$所以∠DMF=180°- ∠FMC=∠FCD+∠F$

$因为AB//CD$

$所以∠BAF=∠DMF=∠FCD+∠F$

$因为AF平分∠BAE$

$所以∠BAE=2∠BAF=2∠FCD+2∠F$

$由(2)可得∠DCE=∠BAE+∠E$

$因为∠FCD=\frac{1}{6}∠ECD$

$所以∠ECD=6∠FCD$

$所以6∠FCD=2∠FCD+2∠F+∠E$

$因为∠E=30°，∠AFC=40°$

$所以∠FCD=27.5°$

$解：如图③，过点F作FG//AB$

$因为AB//CD$

$所以AB//CD//FG$

$所以∠BFG=∠ABF，∠GFD=∠CDF$

$因为∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F$

$所以∠BFD=\frac{1}{2}(∠ABE+∠CDE)$

$又因为∠ABE+∠E+∠CDE=360°，∠E=140°$

$所以∠ABE+∠CDE=220°$

$所以∠BFD=110°$

$解：①因为PD//BC$

$所以∠2=∠3$

$又因为∠ABC=2∠3，∠ABC= ∠1+∠2，∠1=α$

$所以∠1=∠2=∠3=α，∠ABC=2α$

$因为DG平分∠EDC，∠CDG+∠C=180°$

$所以\frac{1}{2}∠EDC+∠C=180°$

$所以∠EDC=360°-2∠C$

$因为∠EDC+∠BCD-∠ABC=180°$

$即∠EDC=180°-∠C+2α$

$所以360°-2∠C=180°-∠C+2α$

$即∠C=180°-2α$

$②∠1=∠2，理由如下:\ $

$如图②，作CH平分∠BCD交DG于H$

$所以∠4=∠5=\frac{1}{2}∠BCD$

$因为DG平分∠EDC$

$所以∠CDG=\frac{1}{2}∠EDC$

$所以∠5+∠CDG=\frac{1}{2}(∠BCD+∠EDC)$

$又因为∠CDE+ ∠BCD-∠ABC=180°$

$ \begin{aligned} 所以∠5+∠CDG&=\frac{1}{2}(180°+∠ABC) \\ &=90°+\frac{1}{2}∠ABC \\ \end{aligned}$

$所以∠PHC=90°+\frac{1}{2}∠ABC$

$因为∠3+\frac{1}{2}∠BCD=90°$

$所以∠3+∠4=90°$

$所以∠PBC$

$=360°-∠3-∠4-∠PHC$

$=360°-90°-90°-\frac{1}{2}∠ABC$

$=180°-\frac{1}{2}∠ABC$

$又因为∠PBC+∠2=180°$

$所以∠2=\frac{1}{2}∠ABC$

$所以∠1=∠2 $

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