$解：(1)由题意得AD//BC，所以∠DEF+∠CFE=180°$
$因为∠DEF=20°$
$所以∠CFE=180°-∠DEF=180°-20°=160°.$
$(2)由折叠可得∠D_1EF=∠DEF=20°$
$所以∠DEG=∠DEF+∠D_1EF=20°+20°=40°$
$因为AD//BC，所以∠CGD_1=∠DEG=40°$
$因为FC_1//ED，所以∠C_1FC=∠CGD_1=40°$
$(3)∠C_2FE+∠DEF=∠EGF.理由如下:$
$因为AD//BC，所以∠EFB=∠DEF$
$∠DEF+∠CFE=180°，∠DEG+∠EGF=180°$
$设∠DEF=x°，则∠EFB=x°，$
$∠CFE=180°-∠DEF=180°-x°$
$由折叠可得∠D_1EF=∠DEF=x°$
$所以∠DEG=∠DEF+∠D_1EF=2x°$
$所以∠EGF=180°-∠DEG=180°-2x°$
$因为FC_1//ED_1，所以∠C_1FG=∠EGF=180°-2x°$
$因为四边形GD_1C_1F折叠得到四边形GD_2C_2F$
$所以∠C_2FG=∠C_1FG=180°-2x°$
$∠C_2FE=∠C_2FG-∠EFB=180°-2x°-x°=180°-3x°$
$所以∠C_2FE+∠DEF=180°-3x°+x°=180°-2x°=∠EGF$
$即∠C_2FE+∠DEF=∠EGF.$
