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$解：设2^x=m，3^y=n$

$原方程组可化为\begin{cases}{m+n=43}\\{4m-n=37}\end{cases}，解得\begin{cases}{m=16}\\{n=27}\end{cases}$

$即\begin{cases}{x=4}\\{y=3}\end{cases}，解得\begin{cases}{2^x=16}\\{3^y=27}\end{cases}$

$故原方程组的解为\begin{cases}{x=4}\\{y=3}\end{cases}$

$解：由①可设5x=35+35t，7y=35-35t$

$即x=7+71，y=5-5t$

$代入②，得7(7+7t)+3(5-5t)=166$

$解得t=3$

$所以x=7+7×3=28，y=5-5×3=-10$

$所以原方程组的解为\begin{cases}{x=28}\\{y=-10}\end{cases}.$

①

②

①

②

①

②

①

②

$解：由①，得\frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{4}，设\frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{4}=k$

$则x=3k-1，y=4k-2$

$代入②，得\frac{3k-1-3}{4}-\frac{4k-2-3}{3}=\frac{1}{12}，解得k=1$

$所以x=3-1=2，y=4-2=2$

$所以原方程组的解为\begin{cases}{x=2}\\{y=2}\end{cases}$

$解：把\frac{x+y}{6}、\frac{x-y}{10}分别看作一个整体$

$分别设为m、n，原方程组化为\begin{cases}{m+n=3}\\{m-n=-1}\end{cases}$

$解得\begin{cases}{m=1}\\{n=}\end{cases}，所以\begin{cases}{\frac{x+y}{6}=1}\\{\frac{x-y}{10}=2}\end{cases}，解得\begin{cases}{x=13}\\{y=-7}\end{cases}$

$所以原方程组的解为\begin{cases}{x=13}\\{y=-7}\end{cases}$

$解：将\frac{2x+3y}{2}、\frac{3x+2y}{5}分别看作一个整体$

$分别设为u、v，得\begin{cases}{u=v+2}\\{3u=2v+6}\end{cases}$

$解得\begin{cases}{u=2}\\{v=0}\end{cases}，即\begin{cases}{\frac{2x+3y}{2}=2}\\{\frac{3x+2y}{5}=0}\end{cases}，解得\begin{cases}{x=-\frac{8}{5}}\\{y=\frac{12}{5}}\end{cases}$

$所以原方程组的解为\begin{cases}{x=-\frac{8}{5}}\\{y=\frac{12}{5}}\end{cases}$

$解：设\frac{x+y}{2}=\frac{z+x}{3}=\frac{y+z}{4}=k$

$则有x+y=2k，z+x=3k，y+z=4k$

$三式相加，得x+y+z=\frac{9}{2}k$

$所以\frac{9}{2}k=27，解得k=6$

$将k=6代入上面三个等式中，得方程组为$

$\begin{cases}{x+y=12}\\{z+x=18}\\{y+z=24}\end{cases}，解得\begin{cases}{x=3}\\{y=9}\\{z=15}\end{cases}$

$所以原方程组的解为\begin{cases}{x=3}\\{y=9}\\{z=15}\end{cases} $

①

②