$解：(1)因为点A 的坐标为(5,1000)，$
$所以OA所在直线对应的函数表达式为y=200x.$
$(2)设BC所在直线对应的函数表达式为y= kx+b.$
$把B(0,1000),C(10,0)分别代入,$
$得\begin{cases}{1000=0+b，}\\{0=10k+b， }\end{cases}解得\begin{cases}{k=-100，}\\{b=1000. }\end{cases}$
$所以直线BC对应的函数表达式为 y=-100x+1000.$
$由(1)得OA所在直线对应的函数表达式为y=200x，$
$当甲、乙机器人相遇时，两函数的纵坐标相等，$
$即200x=-100x+1000，解得x=\frac{10}{3}.$
$所以出发后甲机器人行走\frac{10}{3}{\mathrm {\ \mathrm {min}}}与乙机器人相遇.$
$(3)设甲机器人行走t{\mathrm {\ \mathrm {min}}}到P地，则P地与M地距离为200t m.$
$又再经过1{\mathrm {\ \mathrm {min}}}乙机器人到P地，则乙机器人行走(t+1){\mathrm {\ \mathrm {min}}}到 P地.$
$所以P地与M地距离[-100(t+1)+1000] m$
$由题意得200t=-100(t+1)+1000，解得t=3.$
$则200t=600.$
$所以P，M两地间的距离为600\ \mathrm {m}.$
