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$证明：连接BD，过点B作BF⊥DE，交DE的延长线于点F，$

$则BF=b-a,$

$所以S_{五边形ACBED}=S_{△ACB}+S_{△ABD}+S_{△BDE}$

$=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c²+\frac{1}{2}a·(b-a).$

$又因为S_{五边形ACBED}=S_{△ACB} +S_{△ABE}+S_{△ADE}$

$=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b²+\frac{1}{2}ab,$

$所以\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b²+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c²+\frac{1}{2}a(b-a).$

$所以 a²+b²=c².$

$解：(1)点P位于BC的垂直平分线与AC的交点处，如图所示.$

$理由如下:因为PC²-PA²=AB²，$

$所以PC²=PA²+AB².$

$又因为点P在AC上，$

$所以由勾股定理得 PA²+AB²=PB²，$

$所以PC=PB.$

$所以点P在BC的垂直平分线上，$

$即点P位于BC的垂直平分线与AC的交点处.$

$（更多请点击查看作业精灵详解）$

$解：(1)由题意得∠A=90°,AC+BC=8\ \mathrm {m}，则 BC=(8-AC)\ \mathrm {m}.$

$在Rt△ABC中，AB=4\ \mathrm {m},$

$由勾股定理得 AB²+AC²=BC²，即 4²+AC²=(8-AC)²,$

$解得AC=3\ \mathrm {m}.$

$则旗杆从距地面3\ \mathrm {m}处折断.$

$(2)由(1)得 AC=3\ \mathrm {m}.\ 如图，由题意得 AD=3-1.25=1.75\ \mathrm {m}，$

$所以 B'D=8-1.75=6.25(\mathrm {m}).$

$在 Rt△AB'D 中，由勾股定理得AB'²=B'D²-AD²=6²，$

$所以AB'=6\ \mathrm {m}.$

$则距离旗杆底部6\ \mathrm {m}范围内有被砸伤的危险.$