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$\frac {40}{9}＜AP＜\frac {24}{5}或AP=5$

$(1)解：△ACD∽△ADE，理由如下$

$连接OD$

$∵⊙O恰好与BC相切于点D$

$∴∠ODB=90°$

$又∵∠C=90°$

$∴OD//AC$

$∴∠ODA=∠DAC$

$∵OD=OA$

$∴∠ODA=∠OAD$

$∴∠OAD=∠DAC$

$∵AE为⊙O的直径$

$∴∠ADE=90°$

$∴∠ADE=∠C，$

$∴△ACD∽△ADE$

$(2)(3)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$(1)解：如图②所示，连接PF$

$在Rt△ABC中，由勾股定理得：$

$AC=\sqrt{10^2-6^2}=8$

$设AP=x，则DP=10-x，PF=x$

$∵⊙P与边CD相切于点F$

$∴PF⊥CD$

$∵四边形ABCD是平行四边形$

$∴AB//CD$

$∵AB⊥AC$

$∴AC⊥CD$

$∴AC//PF$

$∴△DPF∽△DAC$

$∴\frac{PF}{AC}=\frac{PD}{AD}$

$∴\frac{x}{8}=\frac{10-x}{10}$

$∴x=\frac{40}{9}$

$即AP=\frac{40}{9}$

$(2)解：∵△ACD∽△ADE$

$∴\frac {3}{AD}=\frac {AD}{4}$

$∴AD=2\sqrt{3}$

$∵AC=3，根据勾股定理得CD=\sqrt{3}$

$∴sin∠DAC=\frac12$

$∴∠DAC=∠EAD=∠ODA=30°$

$∴∠AOD=120°$

$∴S_{△OAD}=\frac {\sqrt{3}}{4}OA^2=\sqrt{3}$

$∴S_{阴影}=\frac {120°×π×4}{360°}-\sqrt{3}=\frac {4π}{3}-\sqrt{3}$

$(3)解：①以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于$

$点H，以H、C为圆心，大于CH长为半径画弧，交于$

$点G，连接AG，AG即为∠BAC的角平分线，AG与$

$BC的交点即为点D$

$②以D为圆心，DC长为半径画弧，交BD于点C′，以$

$C、C′为圆心，大于CC′为半径画弧，分别交于点$

$E、F，连接EF，EF即为CC′的垂直平分线，EF与$

$AB的交点即为点O $

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