$(1)解：分两种情况：$
$①当△AMN∽△ABC时，有$
$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$
$ $
$ $
$∵M为AB的中点$
$∴\frac{AM}{AB}=\frac{1}{2}$
$∵BC=6$
$∴MN=3$
$②当△ANM∽△ABC时，有 $
$\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{BC}$
$ $
$ $
$∵M为AB的中点，AB=2\sqrt{5}$
$∴AM=\sqrt{5}$
$∵BC=6，AC=4\sqrt{5}，AM=\sqrt{5}$
$∴MN=\frac{3}{2}$
$综上可得，MN的长为3或\frac{3}{2}$
