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$解：(1)如图，连接OC，OD$

$∵M是CD的中点，CD=12$

$∴CM=\frac{1}{2}CD=6$

$∵OC=OD，∴OM⊥CD，∴∠OMC=90°$

$∵OM=3，∴OC= \sqrt{OM²+CM²}=3 \sqrt{5}$

$故⊙O的半径为3 \sqrt{5}$

$(2)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$证明：(1)连接 OD$

$∵CD=AC，∴∠A= ∠ADC，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB$

$∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ADC+∠ODB=90°$

$∴∠ODC=180°-(∠ADC+∠ODB)=90°，∴OD⊥CD$

$∵OD为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线$

$(2)∵∠ACB=90°，∠A=60°，∴∠B= 90°-∠A=30°$

$∵CD=AC，∴△ACD为等边三角形，∴∠ACD=60°，CD=AC=2 \sqrt{3}$

$∴∠OCD=∠ACB-∠ACD=30°，∴OD=\frac{1}{2}OC$

$设OB=OD=x，则OC=2x，∴CD= \sqrt{OC²-OD²}= \sqrt{3} x$

$∴\sqrt{3} x=2 \sqrt{3}，解得 x=2，∴OB=OD=2$

$∵∠COD=2∠B=60°，∴∠BOD= 180°- ∠COD=120°$

$∴\widehat{BD}的长为\frac{120π×2}{180}=34π$

$证明：(1)∵AB 是⊙O的直径，∴∠ACB= 90°，∴∠OCB+∠ACO=90°$

$∵CP 是⊙O的切线，∴OC⊥CP，∴∠OCP=90°$

$∴∠OCB+∠BCP=90°，∴∠ACO=∠BCP$

$解：(2)∵OA=OC，∴∠OAC=∠ACO= ∠BCP$

$∵∠ABC=2∠BCP，∴∠ABC=2∠OAC$

$∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠OAC=90°，∴3∠OAC=90°$

$∴∠OAC=30°，∴∠BOC=2∠OAC=60°$

$∵∠OCP=90°，∴∠P=90°-∠BOC=30°$

$(3)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$证明：(2)连接AC，延长AF 交BD于点G$

$∵AB⊥CD，CE=EF$

$∴∠AEF=90°，AB垂直平分CF$

$∴AC=AF$

$∴∠CAE=∠FAE$

$∵∠BDC=∠CAE$

$∴∠BDC=∠FAE$

$∵∠BDC+∠DFG+∠DGF=180°，$

$∠FAE+∠AFE+∠AEF=180°，$

$∠DFG=∠AFE$

$∴∠DGF=∠AEF=90°$

$∴AF⊥BD$

$解：(3)∵∠ACB=90°，∠OAC=30°，AB=4$

$∴BC=\frac{1}{2}AB=2$

$∴AC= \sqrt{AB²-BC²}=2 \sqrt{3}$

$∴S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC\ \cdot\ BC=2 \sqrt{3}$

$∵OA=\frac{1}{2}AB=2$

$S_{半圆}=\frac{1}{2}π\ \cdot\ OA²=2π$

$∴S_{阴影}=S_{半圆}-S_{△ABC}=2π-2 \sqrt{3}$

$故阴影部分的面积为2π-2 \sqrt{3}$

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