$解：(1)由题意，得AD=t\ \mathrm {cm}，BF=2t\ \mathrm {cm}$
$∵10÷2=5(\mathrm {s})，∴0＜t≤5$
$∵∠ACB=90°，AC=BC=10\ \mathrm {cm}$
$∴CD=AC-AD=(10-t)\ \mathrm {cm}，CF=BC-BF=(10-2t)\ \mathrm {cm}，$
$∠A=∠B=\frac{1}{2}(180°-∠ACB)=45°$
$∵DE//BC，∴∠ADE=∠ACB=90°$
$∴∠AED=90°-∠A=45°，∴∠A=∠AED$
$∴DE=AD=t\ \mathrm {cm}$
$∴S_{四边形DEFC}=\frac{1}{2}(DE+CF)\ \cdot\ CD=\frac{1}{2}(10-t)²\ \mathrm {cm}²$
$又S_{四边形DEFC}=18\ \mathrm {cm}²，∴\frac{1}{2}(10-t)²=18$
$解得t=4(t=16不合题意，舍去)$
$∴当t 的值为4时，四边形DEFC的面积为18\ \mathrm {cm}²$
$(2)不存在，理由如下：$
$∵∠ACB=90°，AC= BC=10\ \mathrm {cm}$
$∴AB= \sqrt{AC²+BC²}=10 \sqrt{2}\ \mathrm {cm}$
$∵∠ADE=90°，AD=DE=t\ \mathrm {cm}$
$∴AE=\sqrt{AD²+DE²}= \sqrt{2}t\ \mathrm {cm}$
$∴BE=AB-AE=(10 \sqrt{2}- \sqrt{2}t)\ \mathrm {cm}$
$∵CD=(10-t)\ \mathrm {cm}，CF=(10- 2t)\ \mathrm {cm}$
$∴DF = \sqrt{CD²+CF²} =\sqrt{5t²-60t+200}\ \mathrm {cm}$
$若 DF = BE，则\sqrt{5t²-60t+200}=10 \sqrt{2}- \sqrt{2}t$
$整理，得3t²-20t=0$
$解得t=0或\frac{20}{3}，均不合题意，舍去$
$故不存在t 的值，使得DF=BE$
$(3)若点E在以DF 为直径的圆上，则∠DEF= 90°$
$∵∠ADE=90°，∴∠CDE=180°-∠ADE=90°$
$∵∠ACB=90°，∴四边形DEFC为矩形，∴DE=CF$
$∵DE=t\ \mathrm {cm}，CF=(10-2t)\ \mathrm {cm}$
$∴t=10-2t，解得t=\frac{10}{3}$
$故点 E可能在以DF 为直径的圆上，此时t 的值为\frac{10}{3}$
