$解：(2)(1)中猜想的结论不成立，∠ABC+∠ADC＞ 180°，证明如下：$
$延长AD 交⊙O于点G，连接CG$
$∵四边形ABCG 内接于⊙O，∴∠ABC+∠AGC=180°$
$∵∠ADC=∠DCG+∠AGC，∴∠ADC＞∠AGC，∴∠ABC+∠ADC＞180°$
$(3)∵∠BAD=30°，∠BCD=150°，∴∠BAD+∠BCD=180°$
$∴由(1)(2)可知A，B，C，D 四点共圆$
$如图，作四边形ABCD 的外接圆⊙O，连接OB，OD，$
$过点A 作AM⊥BD于点M，过点C作CN⊥BD于点N$
$∵OB=OD，∠BOD=2∠BAD=60°，∴△OBD为等边三角形$
$∴OB=BD=6，∴⊙O的直径为6×2=12$
$∵S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD\ \cdot\ AM，S_{△CBD}=\frac{1}{2}BD\ \cdot\ CN$
$∴S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△CBD}=\frac{1}{2}BD\ \cdot\ \ (AM+CN)=3(AM+CN)$
$∴当AM+CN取最大值时，四边形ABCD取最大值$
$结合图形可知，当A，M，N，C四点共线，$
$且AC为 ⊙O的直径时，AM+CN取最大值，此时AM+CN=AC=12$
$∴四边形ABCD面积的最大值为3×12=36$
