第22页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

$解：(1)∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC= 90°$

$∵AF，BF 分别平分∠BAC，∠ABC$

$∴∠BAF=\frac {1}{2}∠BAC，∠ABF=\frac {1}{2}∠ABC$

$∴∠BAF+∠ABF=\frac {1}{2}(∠BAC+∠ABC)=45°$

$∴∠AFB=180°-(∠BAF+∠ABF)=135°$

$如图，点F在以AB为弦，所对圆心角∠AOB为90°的⊙O上运动\ $

$(2)如图，过点O作OP⊥AB于点P，延长 OP 交⊙O于点Q，过点F 作FH⊥AB 于点H$

$则S_{△AFB}=\frac {1}{2}AB · FH$

$∵AB=2 \sqrt {3}，∴S_{△AFB}= \sqrt {3}FH$

$∴当FH 的长取最大值时，S_{△AFB}取最大值$

$结合图①可知，当点F与点Q 重合时，FH的长取最大值，此时FH=PQ=OQ-OP$

$∵OA=OB，∴AP=BP$

$∵∠AOB=90°，∴OP=\frac {1}{2}AB= \sqrt {3}，AB=\sqrt {OA²+OB²}= \sqrt {2}OA$

$∴\sqrt {2}OA=2 \sqrt {3}，∴OQ=OA= \sqrt {6}$

$∴FH 长的最大值为 \sqrt {6}-\sqrt {3}$

$∴△AFB 面积的最大值为 \sqrt {3}×(\sqrt {6}-\sqrt {3})= 3\sqrt {2}-3$

$(3)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$解：(3)∵△ABC为等边三角形$

$∴∠ABD=∠BCE=60°，AB=BC$

$在△ABD 和△BCE中$

$\begin{cases}{AB=BC}\\{∠ABD=∠BCE}\\{BD=CE}\end{cases}$

$∴△ABD≌△BCE$

$∴∠BAD=∠CBE$

$∴∠BFD=∠BAD+∠ABF$

$=∠CBE+∠ABF=∠ABD=60°$

$∴∠AFB=180°-∠BFD=120°$

$如图，点F 在以AB 为弦，所对圆心角$

$∠AOB 为 120°的⊙O上运动$

$∵AB=2 \sqrt {3}$

$∴C_{△ABF}=AB+AF+BF$

$=2 \sqrt {3}+AF+BF$

$∴当AF+BF 取最大值时，C_{△ABF} 取最大值$

$取\widehat{AB}的中点M，连接AM，BM，$

$OM，OM交AB于点N $

$则结合图可知，当点F 与点M重合时，$

$AF+BF 取最大值，此时AF+BF=AM+BM$

$∵M为\widehat{AB}的中点$

$∴\widehat{AM}=\widehat{BM}$

$∴∠AOM=∠BOM=\frac {1}{2}∠AOB=60°，$

$AM=BM$

$∵OA=OB$

$∴OM垂直平分AB，$

$即AN=\frac {1}{2}AB=\sqrt {3}，∠ONA=90°$

$∴∠OAN=90°-∠AOM=30°$

$∴ON=\frac {1}{2}OA$

$∴AN= \sqrt {OA²-ON²}= \frac {\sqrt {3}}{2}OA$

$∴ \frac {\sqrt {3}}{2}OA= \sqrt {3}$

$∴OA=2$

$∵OA=OM$

$∴△OAM为等边三角形$

$∴BM=AM=OA= 2$

$∴AF+BF 的最大值为 2+2=4$

$∴△ABF 周长的最大值为2 \sqrt {3}+4$