$解：(1)∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC= 90°$
$∵AF，BF 分别平分∠BAC，∠ABC$
$∴∠BAF=\frac {1}{2}∠BAC，∠ABF=\frac {1}{2}∠ABC$
$∴∠BAF+∠ABF=\frac {1}{2}(∠BAC+∠ABC)=45°$
$∴∠AFB=180°-(∠BAF+∠ABF)=135°$
$如图，点F在以AB为弦，所对圆心角∠AOB为90°的⊙O上运动\ $
$(2)如图，过点O作OP⊥AB于点P，延长 OP 交⊙O于点Q，过点F 作FH⊥AB 于点H$
$则S_{△AFB}=\frac {1}{2}AB · FH$
$∵AB=2 \sqrt {3}，∴S_{△AFB}= \sqrt {3}FH$
$∴当FH 的长取最大值 时，S_{△AFB}取最大值$
$结合图①可知，当点F与点Q 重合时，FH的长取最大值，此时FH=PQ=OQ-OP$
$∵OA=OB，∴AP=BP$
$∵∠AOB=90°，∴OP=\frac {1}{2}AB= \sqrt {3}，AB=\sqrt {OA²+OB²}= \sqrt {2}OA$
$∴\sqrt {2}OA=2 \sqrt {3}，∴OQ=OA= \sqrt {6}$
$∴FH 长的最大值为 \sqrt {6}-\sqrt {3}$
$∴△AFB 面积的最大值为 \sqrt {3}×(\sqrt {6}-\sqrt {3})= 3\sqrt {2}-3$
$(3)（更多请点击查看作业精灵详解）$
