$解：(1)过点A作AM⊥BC于点M，则∠AMB= ∠AMC=90°$
$∴AM²+BM²=AB²，AM²+CM²=AC²，AM²+DM²=AD²$
$∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD$
$∴AB²+AC²=2AM²+BM²+CM²=2AM²+(BD+DM)²+(CD-DM)²$
$=2AM²+(BD+DM)²+(BD-DM)² =2(AM²+BD²+DM²)=2(AD²+BD²)$
$(2)如图，取OP 的中点H，连接OC，OD，OE，EH$
$∵AB=8，∴OB=OC=OD=\frac{1}{2}AB=4$
$∵P 是OB的中点，∴OP=BP=\frac{1}{2}OB=2$
$∴OH=\frac{1}{2}OP=1$
$∵E是CD的中点，∠CPD=90°，∴PE=CE=\frac{1}{2}CD$
$在△OEP 中，由中线长公式，得 OE²+PE²=2(EH²+OH²)=2(EH²+1)$
$在△OCD中，由中线长公式，得OC²+OD²=2(OE²+CE²)=2(OE²+PE²)$
$∴OE²+PE²=\frac{1}{2}(OC²+OD²)=16$
$∴2(EH²+1)=16，∴EH= \sqrt{7}$
$∴点E在以点H为圆心，\sqrt{7}为半径的圆上运动$
$结合图形可知，当EH⊥AB时，△EPB的面积最大，此时∠OHE=90°$
$∴OE= \sqrt{OH²+EH²}=2 \sqrt{2}$
$∵OC=OD，∴OE⊥CD，∴∠OEC=90°$
$∴CE= \sqrt{OC²-OE²}=2 \sqrt{2}，∴CD=2CE=4\sqrt 2$
$故当△EPB的面积最大时，CD的长为4 \sqrt{2}$
